PrimeGrid/Generalized Fermat Prime Search

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Generalized Fermat Prime Search sucht nach Primzahlen der Form GF(n, b) = b^N+1 mit b > 1 und N = 2ⁿ. Im Spezialfall b = 2 spricht man von Fermat-Primzahlen. Man kann leicht zeigen, dass b eine gerade Zahl und N eine Zweierpotenz sein muss, damit b^N+1 prim sein kann:

Ist b ungerade, so gilt b ≡ 1 (mod 2). Dann ist aber

b^N+1 ≡ ((1 (mod 2))^N + 1) (mod 2) = (1 + 1) (mod 2) = 0 (mod 2)

d.h. b^N+1 ist durch 2 teilbar und niemals prim.

Ist N keine Zweierpotenz, so lässt sich N = r⋅s mit ungeradem s schreiben. Es ist dann

b^N+1 = (b^r)^s+1
≡ ((-1 (mod b^r+1))^s + 1) (mod b^r+1)
= (-1 + 1) (mod b^r+1)
= 0 (mod b^r+1)

d.h. b^N+1 ist durch b^r+1 teilbar.

Status	aktiv (beta und Project Staging Area)
Homepage	http://pagesperso-orange.fr/yves.gallot/primes/index.html
aktiv seit	1999
bei PrimeGrid seit	5. November 2009
Forum bei PrimeGrid	http://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=1528
aktueller Suchbereich	N = 2, 4, 8, 16 mit b < 1G N = 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144, 524288, 1048576, 2097152, 4194304, 8388608, 16777216 mit b < 100M
Sieving	AthGfn64 (manuell)
Primalitätstests	GeneferCUDA, Genefx64, Genefer, Genefer80, PFGW (via BOINC und PRPNet)
- Badges	20k: 200k: 1M: 2M: 4M:
Thread im SG-Forum	http://www.seti-germany.de/forum/primegrid/3736-generalized-fermat-prime-search.html

[bearbeiten] Funde

145310²⁶²¹⁴⁴+1 (08.02.2011; 1353265 Stellen, Bekanntgabe, Prime Pages)
40734²⁶²¹⁴⁴+1 (08.03.2011; 1208473 Stellen, Bekanntgabe, Prime Pages)
361658²⁶²¹⁴⁴+1 (29.10.2011; 1457075 Stellen, Bekanntgabe, Prime Pages)
75898⁵²⁴²⁸⁸+1 (19.11.2011; 2558647 Stellen, Bekanntgabe, Prime Pages)
525094²⁶²¹⁴⁴+1 (18.01.2012; 1499526 Stellen, Bekanntgabe, Prime Pages)