PrimeGrid/Generalized Fermat Prime Search

Generalized Fermat Prime Search sucht nach Primzahlen der Form GF(n, b) = b^N+1 mit b > 1 und N = 2ⁿ. Im Spezialfall b = 2 spricht man von Fermat-Primzahlen. Man kann leicht zeigen, dass b eine gerade Zahl und N eine Zweierpotenz sein muss, damit b^N+1 prim sein kann:

Ist b ungerade, so gilt b ≡ 1 (mod 2). Dann ist aber

b^N+1 ≡ ((1 (mod 2))^N + 1) (mod 2) = (1 + 1) (mod 2) = 0 (mod 2)

d.h. b^N+1 ist durch 2 teilbar und niemals prim.

Ist N keine Zweierpotenz, so lässt sich N = r⋅s mit ungeradem s schreiben. Es ist dann

b^N+1 = (b^r)^s+1
≡ ((-1 (mod b^r+1))^s + 1) (mod b^r+1)
= (-1 + 1) (mod b^r+1)
= 0 (mod b^r+1)

d.h. b^N+1 ist durch b^r+1 teilbar.

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